(Finance) 도구로서의 파이낸스 제6장 Derivatives의 이론과 실전적 지식

6.5 Option이란

 

Option은 [보험]

 

Option은 Derivatives 거래의 대표선수라고 말할 수 있을지 모릅니다. 

간단히 말하면, Option은 [보험]입니다. 

보험은 RISK에 대한 Hedge(회피) 수단인 것입니다. 

Option의 경우는, 주식, 환율, 금리라고 하는 금융자산을 대상으로 합니다. 

예를 들면, 주식의 Option이라면, 장래의 주가 하락 RISK에 대하는 Hedge 수단으로서,

Option 계약을 맺는 것입니다.

 

Finance에 있어서 Option이란,

주식, 채권, 통화 등에 대해서, 어느 기일에, 어느 수량을, 어느 가격에 사는 권리 혹은 파는 권리라고 정의됩니다.  

Option의 소유권은 [권리를 갖고 있다]는 것이 됩니다.

의무가 아는 것이 Point입니다. 

Option의 기일이나 수량, 가격이라고 하는 조건은, 당신이 원하는대로 바꿀 수 있습니다. 

예를 들어, 1년 후에(기일), 닛산 주식 1,000주(수량)을, 1,200엔(가격)에 파는 권리로 하거나 하는 것입니다. 

 

어떤 자산을 [사는 권리]를 Call Option, 

반대로 [파는 권리]를 Put Option 이라고 부르고 있습니다. 

 

① Call Option의 구입 = [사는 권리]의 구입 (구입하는 것이 가능함) 

② Call Option의 매각 = [사는 권리]의 매각 (매각하지 않으면 안됨)

③ Put Option의 구입 = [파는 권리]의 구입 (매각하는 것이 가능함)

④ Put Option의 매각 = [파는 권리]의 매각 (구입하지 않으면 안됨)

 

Finance의 세꼐에서는, 구입을 Long, 매각을 Short라고 부르는 습관이 있습니다. 

따라서 앞의 4가지 기본 Pattern은 

① Long Call, ② Short Call, ③ Long Put, ④ Short Put 이라고 부르는 것도 있습니다.  

 

 

Option 용어	의미
Call Option	장래의 특정기일(혹은 특정기간내)에,  다시 결정된 가격으로 금융자산을 구입할 수 있는 것이 가능한 권리
Put Option	장래의 특정기일(혹은 특정기간내)에,  다시 결정된 가격으로 금융자산을 매각할 수 있는 것이 가능한 권리
권리행사가격 (Strike Price)	Option 계약에서 새롭게 결정된 원자산의 매매가격
원자산	Option으로 매매되는 대상이 되는 자산
Option Premium	Option을 구입하는 것에 대해 지급하지 않으면 안되는 가격. Option의 가격에 상당
Volatility	가격 변동률. 구체적으로는 표준편차를 가리킴
European Option	Option을 구입하는 쪽이, 만기일에 한해 권리를 행사하는 것이 가능한 옵션
American Option	만기일 전이라면, 언제든지 자유롭게 권리를 행사하는 것이 가능한 Option
Asian Option	만기일까지의 원자산의 평균치가 권리행사가격이 되는 Option

 

 

 

Call Option

 

Option으로 매매되는 대상이 되는 X사의 주식은 원자산이라고 한다. 

또한, 이 원자산의 매매가격 1,200엔을 권리행사가격이라고 한다. 

 

여기 중요한 것은, Option을 사는 사람은, 만기일의 자산의 가격에 의해서,

권리를 행사할지 안할지를 결정하는 것이 가능하다는 점입니다. 

Option의 사는 사람은, 선택권이 있다는 것을 기억한다.

 

아래 그림은 Payoff Diagram이라고 한다.

 

Payoff Diagram

무엇보다 중요한 것은, 얼마나 주가가 내려가더라도, 당신은 이 Premium 이상의 손해는 하지 않는다는 것이다.

 

Call Option의 가치
C = Max ( S - X , 0 )

이 Max는 [ S-X와 0의 어느 것이든 큰 쪽 ]을 의미한다.

Call Option의 사는 사람에 있어서 최종적인 손익은, Premium을 a라고 하면, C - a 가 된다. 

 

Call Option을 파는 사람에게 있어서의 손익은, 딱 사는 사람과는 반대로 된다. 

주가가 권리행사가격보다 낮으면, Option은 행사되지 않기에, 파는 사람은 Premium을 그대로 손에 얻는다. 

반대로 Option의 사는 사람은 Premium만큼 손해를 보는 것이다. 

Call Option의 손익 (판매)

이처럼 파는 쪽은, 사는 쪽이 원할 때에는 반드시 계약을 이행하지 않으면 안된다. 

Option의 사는 쪽과는 다르게, Option의 파는 쪽은 선택권이 없다는 것이 Point다. 

 

Option 거래에서는 사는 쪽과 파는 쪽의 손익의 합계는 Zero가 된다. 

이것을 Zero-Sum Game이라고 한다. 

 

 

Put Option

 

• Put Option의 [판매]와 [구입]

 

Put Option은 파는 권리다. 

Put Option의 손익 (구입)

Put Option의 가격
P = Max ( X - S , 0 )

 

Put Option의 사는 쪽에 있어서의 손익은, Premium을 b라고 하면, P - b 가 된다. 

 

Put Option의 손익 (판매)

 

• Option의 특징은 

 

Call Option에서 

          권리행사가격 > 원자산가격(주가)

의 상태를 Out of the Money(OTM)이라고 한다. 

 

반대로, 

          권리행사가격 < 원자산가격(주가)

의 상태를 In The Money(ITM)이라고 부른다. 

 

Put Option에서는 이 관계가 정 반대가 된다. 

즉, Put Option에서의 Out of the Money(OTM)은 

          권리행사가격 < 원자산가격(주가)

의 상태를 말하며, In the Money(ITM)은, 

          권리행사가격 > 원자산가격(주가)

의 상태가 된다. 

 

Call Option과 Put Option의 가치

권리행사가격과 원자산가격(주가)가 동일한 상태를 At The Money(ATM)이라고 부른다. 

권리행사를 하면 이익이 나오는 상태 → In the Money (ITM)
권리행사를 하면 손실이 나오는 상태 → Out of The Money (OTM)
권리행사가격과 원자산가격이 같은 상태 → At The Money (ATM)

 

 

본원적가치와 시간가치

 

만기일까지, 주가가 권리행사가격을 상회할 가능성이 남아있기 때문이다. 

즉, 여기서는 시간이 가치를 가지고 있는 것이 된다. 

이 가치를 시간가치(Time Value)라고 한다. 

 

실은 Option의 가치는 본원적가치(Intrinsic Value)와 시간가치의 2가지 요소로 성립된다. 

 

Option의 가치
Option의 가치 = 본원적가치 + 시간가치

 

본원적가치는 In The Money의 Option을 지금 즉시 행사하면 얻을 수 있는 가치를 말한다.

Out of The Money 에 Option의 본원적 가치는 없다. 

 

그러나, 만가일까지 주가가 행사가격을 상회할 가능성이 있는 기간은, Option에는 시간가치가 있는 것이다.

시간가치라고 할 정도니, 만기일에 가까워지면 가까울수록 감소해긴다. 

이 시간가치가 감소하는 것을 Time Decay 라고 부른다. 

 

Call Option의 가치

Out of The Money와 비교하려면, 이익이 나올 가능성이 높기에, 시간가치는 At The Money에서 최대가 된다.

 

이처럼 Option의 시간가치는, 만기일이 도래할 때까지의 Option이 In the Money가 되는 기대치를 나타낸다. 

Option을 사는 쪽이 가지고 있는 시간가치는, 시간과 함께 가속도적으로 감소해간다. 

 

In the Money의 경우에는 향후 얼마나 시간이 경과되더라도

Out of The Money의 상태가 될 가능성이 낮은 것에서, 시간 가치는 그정도 크지는 않다. 

이처럼 Option의 가치는 본원적가치와 시간가치의 합계로 되어있다. 

 

 

 

Put-Call Parity

 

권리행사가격이 1,200엔의 주식을 원자산으로 하는 Call Option을 구입하고,

그 Call Option과 만기일이 동일한 액면 1,200엔의 할인채를 구입하는 것을 생각해본다. 

즉, 만기일의 주가가 어떻게 되더라도, 액면 1,200엔은 보증되는 것이다. 

 

Call Option과 할인채의 Payoff

다음으로 주식 그 자체의 구입과 Put Option의 구입을 조합해본다. 

주식의 구입과 Put Option의 구입의 조합은 이름이 있어서, Protective Put이라고 불린다. 

 

Protective Put의 Payoff

주가가 아무리 하락하더라도, 권리행사가격으로 매각하는 것이 가능하다.

앞선 Call Option의 구입과 할인채의 구입의 조합과 완전히 동일한 Payoff Diagram이다. 

 

Put-Call Parity
C + PV(K) = S + P
C : Call의 가치, K : 권리행사가격, S : 주가, P : Put의 가치

 

좌변은 Call Option과 만기일 K(권리행사가격)을 받을 수 있는 할인채를 구입하기 위해 필요한 비용이다. 

할인채의 구입비용은 K의 현재가치 PV다. 

한편, 우변은 주식과 Put Option을 구입하는 것에 필요한 비용이다. 

양자가 일치하는 이 관계는 Put-Call Parity라고 불려, Option에 관한 관계식 중에서도 가장 중요한 것이다. 

앞선 Protective Put은, 주식과 Put Option의 구입의 조합술로도 말하고, 

Call Option과 할인채의 구입의 조합술로도 말하는 것이다.

 

시장에서는 항상 이 Put-Call Parity가 성립해야만 하지만, 괴리가 발생하기도 한다. 

예를 들어, Put Option이 이 관계식에서 표시되는 가치보다 낮은 가격으로 거래되는 경우는, 

Put Option과 주식을 구입하는 것의 동시에 Call Option과 할인채를 판다면,

Risk 없이 이익이 얻을 수 있는 차익거래가 가능하다. 

 

 

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6.7 Black-Scholes Model이란 무엇인가

 

연속복리란

 

리스크 중립확률 p 는 상승 배율 u와 하락배율 d로부터 계산할 수 있다. 

그것은 시시각각 변화하는 주가의 RISK 중립 확률은 어떻게 구할 수 있을까. 

그것을 위해서는 연속복리를 이해할 필요가 있다. 

지금까지 Cash Flow가 발생하는 Timing은 1년 후나 2년 후와 같은 간격이 벌어져있는 시간을 전제로 해왔다. 

이것을 이산시간이라고 한다. 

예를 들어, X엔을, 연리 r%로 t년간 운영한 경우의 장래가치는 다음과 같이 표시할 수 있다. 

X x ( 1 + r% )^t

 

여기서는 이 복리계산의 시간 간격을 좁혀가면 어떻게 되는가?

시간의 간격을 반년으로 하면 아래와 같이 된다. X x ( 1 + r%/2 )^2t

더욱이 1개월로 하면 X x ( 1 + r%/12 )^12t 가 된다. 

이처럼 X엔을, 연리 r%, 연 m회의 복리로 t년간 운용한 경우의 장래가치는 다음과 같이 표시할 수 있다. 

 

X x ( 1 + r%/m ) ^( t x m )

 

같은 기간운용한다고 하더라도 이자가 붙는 회수가 늘면 늘수록, 1년 복리의 이자는 커진다. 

 

기간수(1년당)	이율(1기간당)	연율	1년후의 10만엔의 가치	1년 복리의 이율
1	6%	6%	106,000 (=100,000 x 1.06^1)	6.000%
2	3%	6%	106,090 (=100,000 x 1.03^2)	6.090%
4	1.5%	6%	106,136 (=100,000 x 1.015^4)	6.136%
12	0.5%	6%	106,168 (=100,000 x 1.005^12)	6.168%
365	0.0164%	6%	106,183 (=100,000 x 1.000164^365)	6.183%

 

복리계산의 시간간격을 제한 없이 작게한다. 

즉, m을 제한없이 늘렸을 때의 복리를 연속복리라고 한다. 

연속복리를 계산하는 경우, 일반적으로 e를 사용하여 구한다. 

e는 자연대수의 바닥라고 불려, 수치는 e = 2.718281828... 로 이어지는 수로, 아래의 식으로 정의된다.  

 

X엔을 연리 r%, 연속복리로 t년간 운용한 경우의 장래가치

 

연속복리인 장래의 Cash Flow를 할인하는 경우는, e^rt 의 역수인 e^-rt를 곱하는 것으로 된다.

이런 연속복리의 계약은 실제의 금융시장에서는 존재하지 않는다. 

단, Black-Scholes Model 등의 이론 Model에서는 연속시간이 전제로 되어 있는 것에서,

평형을 맞추기 위해서라도 이론 Model에서는 연속복리를 사용하는 것이다.

실제 Excel에서 연속복리를 계산하는 경우에는 아래와 같이 EXP 함수를 사용하면 되어 간단하다.

 

연속복리

Risk 중립확률은 아래의 식으로 구할 수 있다. ( 1+r(t) ) 대신에 e^rt를 대입하면,

Risk 중립 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다. 

즉, 주가의 표준편차 σ와 상승배율 u 및 하락배율 d를 관계하는 공식은 다음과 같다. 

 

지금까지 본 것처럼, Option 가치의 산정에는 Risk 중립확률이 필요했다. 

Risk 중립확률의 산정에는, 상승배율 u와 하락배율 d가 필요하다. 

상기 식을 사용하면, 원자산가격의 표준편차 σ로부터 이것들의 배율은 계산 가능하다. 

 

즉, 원자산가격의 표준편차 σ를 안다면, Option가치를 구할 수 있다는 것이다. 

 

 

(Finance) 네이피어의 수

 

 

 

(Finance) 도구로서의 Finance 제7장 경영의 자유도의 가치평가